一、Gurobi中非线性约束的对偶值的获取
Gurobi中非线性约束的对偶值是可以成功获取的，但是在求解模型之前，需要将参数QCPDual设置为1.Gurobi 参考手册——QCPi
注意：如果打开参数QCPDual的话，求解器一般会来求解KKT 方程组来获得QCP的对偶变量。
下面是一个具体的例子。
from gurobipy import *
# Create a new model
m = Model("QCQP")
# Create variables
x = m.addVar(lb = 0, vtype=GRB.CONTINUOUS , name="x")
y = m.addVar(lb = 0, vtype=GRB.CONTINUOUS , name="y")
# Set objective
m.setObjective (1/2 * x * x + y * y - x * y - 2 * x - 6 * y, GRB.MINIMIZE)
m.setParam('QCPDual', 1)
# Add constraints
m.addConstr(-x + 2 * y <= 2, "c0")
m.addConstr(x * x + 1/2 * y <= 2, "c1")
m.addConstr (2 * x + y <= 3, "c2")
# Write model to file
m.write("QCQP.lp")
# Solve the model
m.optimize ()
for con in m.getConstrs():
print(con.ConstrName, '----', con.Pi)
for con in m.getQConstrs():
print(con.QCName, '----', con.QCPi)
求解日志如下
Changed value of parameter QCPDual to 1
Prev: 0 Min: 0 Max: 1 Default: 0
Gurobi Optimizer version 9.0.1 build v9.0.1rc0 (win64)
Optimize a model with 2 rows, 2 columns and 4 nonzeros
Model fingerprint: 0xb070fdc1
Model has 3 quadratic objective terms
Model has 1 quadratic constraint
Coefficient statistics:
Matrix range [1e+00, 2e+00]
QMatrix range [1e+00, 1e+00]
QLMatrix range [5e-01, 5e-01]
Objective range [2e+00, 6e+00]
QObjective range [1e+00, 2e+00]
Bounds range [0e+00, 0e+00]
RHS range [2e+00, 3e+00]
QRHS range [2e+00, 2e+00]
Presolve time: 0.01s
Presolved: 8 rows, 8 columns, 16 nonzeros
Presolved model has 2 second-order cone constraints
Ordering time: 0.00s
Barrier statistics:
AA' NZ : 2.100e+01
Factor NZ : 3.600e+01
Factor Ops : 2.040e+02 (less than 1 second per iteration)
Threads : 1
Objective Residual
Iter Primal Dual Primal Dual Compl Time
0 -1.49326539e+01 -4.35523979e+00 1.76e+00 3.70e+00 4.65e+00 0s
1 -6.12239820e+00 -1.12395144e+01 1.94e-06 1.22e-01 5.19e-01 0s
2 -8.53301014e+00 -8.99477729e+00 1.54e-07 1.02e-03 4.24e-02 0s
3 -8.82682363e+00 -8.85269793e+00 3.11e-13 5.50e-06 2.35e-03 0s
4 -8.83955816e+00 -8.84007974e+00 1.03e-13 4.22e-09 4.74e-05 0s
5 -8.83999672e+00 -8.84000230e+00 3.74e-12 5.43e-11 5.08e-07 0s
Barrier solved model in 5 iterations and 0.02 seconds
Optimal objective -8.83999672e+00
Solving KKT system to obtain QCP duals...
c0 ---- -1.0799994965216462
c2 ---- -1.8399999978917783
c1 ---- -1.1253017667406413e-10
可以看到，日志中说
Solving KKT system to obtain QCP duals...
可见确实是通过求解KKT方程组获得的dual。
二、求解器结果最优性具体理论证明
之前有人在【运小筹读者2群】里问：cplex、gurobi和COPT求解器求解出来的一定是最优解吗？有理论证明什么的吗？
我给除了下面的回答，我觉得对大家会有用，因此稍加整理分享一下。
首先，对于MIP，给足求解时间，设置MIPGap的容差为0，最后得到的一定是最优解。
cplex、gurobi和COPT等求解器使用的是通用的branch and cut算法框架，该框架是精确算法框架。
一个最小化的MIP问题，其松弛问题，即线性松弛是其下界，任意一个可行解是上界。下界和上界的相对差距，就是间隙，optimality gap，简称gap，也就是求解日志最后一列。
求解MIP的分支切割算法，是将精确算法割平面算法融入到另一个精确算法：分支定界框架中。
分支定界本质上是一种分而治之的隐枚举，通过隐枚举，更新全局最优上界和全局最优下界，整个过程都可以保证最优性，通过搜索，最后达到全局最优。
割平面法用来割去小数最优解，并且收紧可行域，加速求解，逼近凸包。
最终整个框架的最优性，通过gap得到证明。gap就是当前解距离最优解的 最大可能的 相对差距。gap等于0，说明当前解一定是全局最优解。
具体理论证明，分为这么几个大的部分：以min问题为例
一个LP，如果可行，我们是可以通过单纯形法，或者内点法求解到最优解的，最优性通过检验数等相关内容可以得到证明。具体证明见单纯形法相关内容。
一个MIP的线性松弛是一个LP，这个LP的最优解，是MIP一个下界，这个MIP的最优解不可能比这个小。
任意一个整数可行解，一定是MIP的一个上界。MIP的最优解一定小于等于这个可行解。
分支定界算法，通过隐枚举，更新全局上界和下界，一定可以保证最后得到最优解。具体证明见分支定界的全局上界和下界的证明。
割平面法，不会割去任何整数可行解。因此割平面法的使用，不会影响最优性，只是加速作用。
以上5个部分各自的证明，可以详细去看，我只是说了结论。以上5个部分，是cplex，gurobi等求解器求解MIP的算法框架branch and cut的主要内容，这每一个内容都有非常完善的理论证明以及最优性保障，综合起来，这个算法框架就是精确算法框架。如果模型有可行解，并且给足足够的求解时间，求解器100％可以保证得到最终的最优解。
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